In this thesis, we study the two-phase horizontally periodic quasistationary Stokes flow in two dimensions. This system models the evolution of a sharp interface, given by the graph of a periodic function, separating two immiscible Newtonian fluids with possibly different densities and viscosities. The interface dynamics are driven by surface tension effects and we may incorporate a gravitational force as well. Such two-phase flows are of great significance in many industrial processes and life sciences.

The first part of this thesis focuses on the analysis of stationary two-phase Stokes systems with a fixed interface. We derive the horizontally periodic Stokeslet and use potential theory to define and analyze the hydrodynamic single- and double-layer potentials. Moreover, the invertibility of the hydrodynamic double-layer potential operator is extensively studied by means of a new class of (singular) integral operators. Using these layer potentials, we are able to construct the velocity field and the pressure of the fluids for any sufficiently regular interface.

In the second part, we use the formula obtained for the velocity field together with the kinematic boundary condition to reformulate the two-phase Stokes system as a fully nonlinear and nonlocal evolution equation for the function parametrizing the interface. We show that this evolution equation is of parabolic type and employ abstract parabolic theory to obtain local well-posedness in subcritical Sobolev spaces whose exponent is arbitrarily close to a certain critical value. Additionally, we establish, by means of a classical parameter trick, a parabolic smoothing property. Furthermore, we present a full overview of equilibrium solutions to the two-phase Stokes system. We then study the stability properties of these equilibria and show that flat interfaces are exponentially stable in the Rayleigh--Taylor stable regime. Moreover, we show that finger-shaped equilibria occur when the denser fluid lies on top of the less dense fluid and prove that these equilibrium solutions are unstable due to the onset of a Rayleigh--Taylor instability pattern.

In dieser Arbeit studieren wir den horizontal periodischen, quasistationären zweiphasigen Stokes-Fluss in zwei Dimensionen. Dieses System modelliert die Evolution einer scharfen Grenzschicht, gegeben durch den Graphen einer periodischen Funktion, welche zwei nicht mischbare, Newtonsche Flüssigkeiten mit möglicherweise verschiedenen Dichten und Viskositäten trennt. Die Dynamik der Grenzschicht wird durch Oberflächenspannung hervorgerufen, zudem kann die Gravitation modelliert werden. Zweiphasige Flüsse dieser Art sind von großer Bedeutung in verschiedenen Industriezweigen und Biowissenschaften.

Der erste Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit stationären zweiphasigen Stokes-Problemen mit einer vorgegebenen Grenzschicht. Wir leiten die Fundamentallösung der horizontal periodischen Stokes-Gleichungen in zwei Dimensionen her und benutzen Potentialtheorie, um die hydrodynamischen Potentiale einfacher und doppelter Flächenbelegung zu studieren. Darüber hinaus analysieren wir die Invertierbarkeit des hydrodynamischen Potentials doppelter Flächenbelegung, indem wir eine neue Klasse (singulärer) Integraloperatoren einführen. Mithilfe dieser Potentiale konstruieren wir das Geschwindigkeitsfeld und den Druck der Flüssigkeiten für Grenzschichten, die regulär genug sind.

Im zweiten Teil benutzen wir die hergeleitete Darstellung des Geschwindigkeitsfeldes zusammen mit der kinematischen Randbedingung, um das zweiphasige Stokes-System in eine voll nichtlineare und nichtlokale Evolutionsgleichung umzuformulieren, welche die Evolution der Funktion beschreibt, die die Grenzschicht parametrisiert. Wir zeigen, dass diese Evolutionsgleichung parabolisch ist, und nutzen abstrakte parabolische Theorie, um lokale Wohlgestelltheit in subkritischen Sobolev-Räumen zu erhalten. Der Exponent dieser Räume kann dabei beliebig nah an einem gewissen kritischen Exponenten liegen. Zusätzlich zeigen wir eine parabolische Glättungseigenschaft, welche mithilfe eines klassischen Parametertricks bewiesen wird. Des Weiteren präsentieren wir eine vollständige Liste der Gleichgewichtslösungen des zweiphasigen Stokes-System und studieren die Stabilitätseigenschaften dieser Lösungen: Wir zeigen, dass flache Grenzschichten im stabilen Rayleigh--Taylor-Szenario exponentiell stabil sind und dass fingerförmige Gleichgewichtslösungen im instabilen Rayleigh--Taylor-Szenario existieren. Dies tritt auf, wenn die dichtere Flüssigkeit über der leichteren Flüssigkeit liegt, und wir zeigen, dass die fingerförmigen Gleichgewichtslösungen instabil sind.